Die Exponentialfunktion "verwandelt" Multiplikation in Addition. Genauer zeigen das die folgenden Gesetze:

a⁰ = 1

a¹ = a

a^{x + y} = a^x a^y

a^(xy) = (a^x)^y

1 / a^x = (1/a)^x = a^-x

a^x b^x = (ab)^x

Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen a und b und alle reellen x. Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können häufig mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:

1 / a = a^-1

√ a = a^1/2

ⁿ√ a = a^1/n

Die große Bedeutung der Exponentialfunktion ist in der Tatsache zu finden, dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ist:

exp'(x) = exp(x)

Allgemeiner gilt

(d/dx) a^bx = ln(a) b a^bx.

Das bedeutet, dass man eine Größe, deren Wachstum proportional zu ihrem Wert ist (wie z.B. Bevölkerungswachstum oder radioaktiver Zerfall), als Konstante mal einer Exponentialfunktion der Zeit schreiben kann.

Wenn man die Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen definiert (über die gleichen Reihen), behält sie folgende wichtiges Merkmalen:

exp(z + w) = exp(z) exp(w)

exp(0) = 1

exp(z) ≠ 0

exp'(z) = exp(z)

für alle z und w. Die Exponentialfunktion ist holomorph und periodisch mit einer imaginären Periode 2πi. Darum ist die Umkehrfunktion in dem Komplexen, der komplexe Logarithmus, eine vielwertige Funktion ln(z). Man kann auch hier eine allgemeine Potenz definieren:

z^w = exp(ln(z) w)

für alle komplexen z und w. Das ist dann auch eine vielwertige Funktion. Die obigen Gesetze für Potenzen gelten zusätzlich, aber für vielwertige Funktionen.

Ãœber die Eulersche Formel erzeugt die Exponentialfunktion die trigonometrischen Funktionen und die hyperbolischen Funktionen== Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren ==

Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren verallgemeinern. Sie ist stets noch über die Reihe

definiert, die für alle möglichen Werte absolut konvergiert. Die wesentliches Merkmal der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion

exp(x+y)=exp(x)exp(y)

ist in dieser Allgemeinheit allerdings ca. noch gültig für Werte x und y, die kommutieren, also für Werte mit xy = yx. (Dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich stets erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist.) Einige Rechenregeln dieser Art für die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banachraum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der nxn-Matrizen mit komplexen Einträgen.

• http://planetmath.org/encyclopedia/ExponentialFunction.html auf Englisch